Wzrost wykładniczy liczebności populacji [historia i autorzy]

Wzrost wykładniczy liczebności populacji – jeden z typów dynamiki liczebności populacji, zjawisko zwiększania się liczebności zgodnie z prawem wzrostu wykładniczego, występujące wówczas, gdy populacja nie napotyka na ograniczenia, np. związane z nadmiernym zagęszczeniem (zob. zasada Alleego) lub oddziaływaniami (interakcjami) międzygatunkowymi.

Thomas Malthus i „granice wzrostu”

Najprostszy model wykładniczy rozwoju pojedynczej populacji otrzymuje się zakładając, że populacja ma warunki nieograniczonego rozwoju, w tym np. że każdy osobnik ma nieograniczony dostęp do pożywienia i miejsc lęgowych. Przyjmuje się ponadto, że śmiertelność jest bliska zeru, wszystkie osobniki są równomiernie rozlokowane przestrzennie i jednakowe – są zdolne do partenogenezy i wydają na świat regularnie tyle samo potomków (liczba λ co τ jednostek czasu). W takim abstrakcyjnym przypadku średnią liczebność populacji N(t) (N osobników w chwili t) można obliczyć z zależności:

gdzie (współczynnik rozrodczości),
albo:

Równania opisują model wzrostu populacji – w wersji ciągłej i dyskretnej – opracowany przez Thomas Malthusa, który pod koniec XVIII w. zwracał uwagę na zbyt szybki wzrost liczby ludności Ziemi. W swoim An Essay on the Principle of Population stwierdził, że liczba ludności zwiększa się w tempie geometrycznym, a zasoby żywności w tempie arytmetycznym, co doprowadzi do katastrofy (zob. statyczna teoria zasobów, pułapka maltuzjańska).

Prace Malthusa były jedną z podstaw działania Klubu Rzymskiego, który w roku 1968 wydał Raport Granice wzrostu, w którym – poza analizami demograficznymi – oszacowano m.in. tempo wyczerpywania się zasobów naturalnych, związanego z intensyfikacją rolnictwa i przemysłu. Publikację Raportu uważa się za początek działań proekologicznych, zmierzających do ustalenia zasad zrównoważonego rozwoju.

Liczebność ludzkiej populacji oraz wskaźniki rozrodczości i śmiertelności w poszczególnych regionach świata są obecnie monitorowane i rejestrowane – wraz z informacjami o czynnikach determinujących tempo wzrostu – i wykorzystywane w skali globalnej do planowania działań zapobiegających takiej katastrofie. Prognozy Malthusa, oparte na modelu wykładniczym, okazały się zbyt katastroficzne.

Niezbędne jest stosowanie bardziej złożonych modeli, uwzględniających liczne czynniki wpływające na rozrodczość i śmiertelność, w tym modeli logistycznych.

Wykładniczy wzrost populacji o pokoleniach nieciągłych

Nieco mniej uproszczony model wykładniczy dotyczy wzrostu populacji gatunków z brakiem ciągłości pokoleń, np. jednorocznych owadów lub roślin. W modelowej populacji jednorocznej samica wydaje na świat w sezonie rozrodczym R0 córek dożywających do następnego sezonu rozrodczego. Średnia wartość R0, mniejsza lub większa od jedności, jest charakterystyczną cechą populacji, nazywaną tempem reprodukcji netto. Między liczebnością takiej modelowej populacji (N) w kolejnych pokoleniach (t i t+1) istnieje zależność:

.

Przyjmując dodatkowo, że tempo reprodukcji netto (R0) nie ulega zmianom, otrzymuje się krzywe wykładnicze:

  • rosnące, gdy R0 > 1,
  • malejące, gdy R0 < 1.

Przykłady pokoleniowych zmian liczebności populacji
Pokolenie R0 = 4 R0 = 2 R0 = 0,5
Nt Nt+1 Nt Nt+1 Nt Nt+1
1 100 400 100 200 100 50
2 400 1600 200 400 50 25
3 1600 6400 400 800 25 13
4 6400 25600 800 1600 13 6
5 25600 102400 1600 3200 6 3

Więcej parametrów charakteryzujących populację umieścił w swoim modelu S.A. Siewiercow (1941):

gdzie:
N0, Nt – liczebność populacji, początkowa i po upływie czasu t,
r – wielkość miotu,
p – okres między kolejnymi miotami,
j – okres do osiągnięcia dojrzałości płciowej,
s – stosunek płci w populacji.

Wykładniczy wzrost populacji o pokoleniach ciągłych

W przypadku gatunków o wydłużonym lub ciągłym okresie rozrodczym, u których występuje ciągłość pokoleń, są stosowane proste równania różniczkowe. Zakłada się, że w dowolnie krótkim czasie dt prawdopodobieństwo:

  • że osobnik wyprodukuje potomka wynosi b dt,
  • śmierci osobnika wynosi d dt.

gdzie b i d są punktowymi (chwilowymi) współczynnikami rozrodczości i śmiertelności.

Punktowy współczynnik wzrostu populacji wynosi:

a szybkość zmian liczby osobników:

Jest to funkcja wykładnicza wrodzonego tempa wzrostu populacji. Opisuje wzrost liczby N bez ograniczeń środowiskowych, przedstawiany na wykresach jako tzw. krzywa J. Założenie, że rozrodczość i śmiertelność nie zależą od zagęszczenia, jest w przybliżeniu spełniane w sytuacjach, gdy jest ono niewielkie. Przykładem zastosowania może być obliczenie czasu, po którym nastąpi podwojenie się np. liczby ludności, jeżeli punktowe tempo wzrostu wynosi r = 0,03:

W rzeczywistości może to nastąpić znacznie później, jeżeli wartość r zmniejszy się i wzrost będzie miał charakter logistyczny (krzywa S).

}}

Pokaż ten artykuł na Wikipedia.pl

Tekst udostępniany na licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o warunkach korzystania.
Zasady zachowania poufności. O Wikipedii. Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność. Materiał pochodzący z Wikipedii został zmodyfikowany poprzez ograniczenie liczby przypisów. Wikipedia® is a registered tradmark of the Wikimedia Foundation.

Kategorie dla tego artykułu