Wzór Herona [historia i autorzy]

Wzór Herona – wzór pozwalający obliczyć pole (S) trójkąta, jeśli znane są długości jego boków. Wzór znany był już Archimedesowi, a jego nazwa pochodzi od Herona, w którego Metryce jest podany.

Niech oznacza połowę obwodu trójkąta. Wtedy jego pole S wynosi:

Wzór Herona może zostać wykorzystany do obliczeń, nawet jeżeli odcinki o podanych długościach nie tworzą trójkąta. W sytuacji, gdy wszystkie trzy odcinki i wszystkie trzy łączące je punkty leżą na jednej prostej, zachodzi równość , więc wyrażenie jest równe , co powoduje, że .

Jeżeli natomiast odcinkami o podanych długościach nie można połączyć trzech punktów tej samej płaszczyzny, tzn. , to wartość , co sprawia, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest ujemne, a więc .

Dowód

W dowodzie wykorzystamy inny wzór na pole trójkąta:

W tym celu, korzystając z twierdzenia cosinusów, wyznaczmy wartość kwadratu cosinusa kąta .

Korzystając z jedynki trygonometrycznej i przekształceń algebraicznych otrzymujemy:




oznacza połowę obwodu trójkąta, więc:









Podstawiając otrzymany wynik do wymienionego na początku wyrażenia, otrzymujemy wzór Herona.

Postać wyznacznikowa

Wzór Brahmagupty

Wzór Brahmagupty to wzór analogiczny do wzoru Herona, który pozwala obliczyć pole S czworokąta o bokach długości wpisanego w okrąg:

,

gdzie

oznacza połowę obwodu czworokąta.

Dla dowolnego czworokąta (również niewpisanego w okrąg), wzór na jego pole przedstawia się następująco:

,

gdzie to połowa sumy dowolnej pary dwóch przeciwległych kątów czworokąta. W przypadku czworokątów wpisanych w okrąg suma tych kątów jest równa i wynosi 180 stopni.

Pokaż ten artykuł na Wikipedia.pl

Tekst udostępniany na licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o warunkach korzystania.
Zasady zachowania poufności. O Wikipedii. Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność. Materiał pochodzący z Wikipedii został zmodyfikowany poprzez ograniczenie liczby przypisów. Wikipedia® is a registered tradmark of the Wikimedia Foundation.

Kategorie dla tego artykułu