Rozkład Studenta [historia i autorzy]

Rozkład Studenta (rozkład t lub rozkład t-Studenta) – ciągły rozkład prawdopodobieństwa stosowany często w statystyce w procedurach testowania hipotez statystycznych i przy ocenie błędów pomiaru. Przy opracowaniu wyników pomiarów często powstaje zagadnienie oszacowania przedziału, w którym leży, z określonym prawdopodobieństwem, rzeczywista wartość mierzona, jeśli dysponujemy tylko wynikami n pomiarów, dla których możemy wyznaczyć takie parametry, jak średnia i odchylenie standardowe lub wariancja („z próby”), nie znamy natomiast odchylenia standardowego w populacji. Zagadnienie to rozwiązał (w 1908 r.) W. S. Gosset (pseudonim Student) podając funkcję zależną od wyników pomiarów , a niezależną od .

Spis treści

Definicja

Rozkład Studenta z n stopniami swobody jest rozkładem zmiennej losowej T postaci:

gdzie:

  • U jest zmienną losową mającą standardowy rozkład normalny N(0,1),
  • Z jest zmienną losową o rozkładzie chi kwadrat o n stopniach swobody,
  • U i Z są niezależne.

Gęstość prawdopodobieństwa

Zmienna losowa T określona powyżej ma gęstość prawdopodobieństwa opisaną wzorem:

gdzie to funkcja gamma.

Dowód. Niech U i Z będą takie jak wyżej. Zmienna Y = √Z ma rozkład chi o n stopniach swobody, a więc gęstość Y wyraża się wzorem

Rozważmy zmienną

Wówczas

a zatem całkując przez podstawienie and obserwujemy, że

Zmienna T ma zatem rozkład Z / X. Jej gęstość jest więc postaci

Niech m = x2. Wówczas powyższa całka przyjmuje postać

Gęstość rozkładu Gamma wyraża się wzorem

Oznacza to, że

a stąd

Ostatecznie,

f_T(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}2^ {\frac {n-1}{2}}n^{-\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right)\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}=\frac{\Gamma[(n+1)/2]}{\sqrt{n\pi}\Gamma(n/2)}\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}.

Własności

Powyższy wzór określa całą rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa zależną od parametru n – liczby stopni swobody rozkładu Studenta. Rozkłady te są symetryczne, jednomodalne, dla dużych wartości n zmierzają do standardowego rozkładu normalnego N(0,1). Dla małych n różnią się jednak od rozkładu normalnego: rozkład Studenta o n stopniach swobody ma skończone momenty tylko do rzędu n - 1, w szczególności dla n = 1 rozkład Studenta jest identyczny z rozkładem Cauchy'ego i nie posiada żadnych skończonych momentów (nie istnieje nawet wartość średnia).

Własności te ilustruje poniższy wykres przedstawiający gęstości rozkładu Studenta dla kilku wartości liczby stopni swobody n w zestawieniu z gęstością standardowego rozkładu normalnego N(0,1).

Zastosowania

Zastosowania rozkładu Studenta w metrologii i statystyce opierają się w większości na następujących dwóch twierdzeniach:

  1. Niech zmienne losowe mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa, który jest rozkładem normalnym o średniej i wariancji oraz niech zmienna będzie określona wzorem:
    gdzie jest wartością średnią z próby, zaś - odchyleniem standardowym z próby.
    Wówczas zmienna ma rozkład t-Studenta o stopniach swobody (niezależny od wartości wariancji w populacji ).
  2. Jeżeli dwie próby o liczebnościach oraz , wartościach średnich oraz i wariancjach wyznaczonych z próby oraz zostały wylosowane z populacji mających taki sam rozkład normalny, to zmienna t określona wzorem:
    ma rozkład t-Studenta o stopniach swobody.

Rozkład t jest stosowany w estymacji przedziałowej, w testach parametrycznych, w szczególności dla wartości średnich i dla wariancji oraz w testach istotności parametrów statystycznych - gdy mamy do czynienia z próbami małymi (najczęściej arbitralnie przyjmuje się, że próba jest mała gdy jej liczebność ).

W metrologii rozkład Studenta wykorzystywany jest m.in. przy estymacji odchylenia standardowego (dla pojedynczego pomiaru oraz wartości oczekiwanej). Dla dużych prób (n > 30) praktycznie pokrywa się z rozkładem normalnym, dla mniejszych estymator odchylenia należy pomnożyć przez wartość krytyczną rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody i przyjętego poziomu istotności .

Najczęściej potrzebne są w zastosowaniach kwantyle rozkładu Studenta, to znaczy takie wartości , że lub Wartości te podają tablice rozkładu t-Studenta.

Tablice statystyczne

  • Zieliński R.,’’Tablice statystyczne’’, PWN, Warszawa, 1972

Pokaż ten artykuł na Wikipedia.pl

Tekst udostępniany na licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o warunkach korzystania.
Zasady zachowania poufności. O Wikipedii. Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność. Materiał pochodzący z Wikipedii został zmodyfikowany poprzez ograniczenie liczby przypisów. Wikipedia® is a registered tradmark of the Wikimedia Foundation.

Kategorie dla tego artykułu