Równanie kwadratowe [historia i autorzy]

Równanie kwadratowe – równanie algebraiczne z jedną niewiadomą w drugiej potędze i opcjonalnie niższych. Innymi słowy równanie wielomianowe drugiego stopnia, czyli równanie postaci

gdzie są jego współczynnikami rzeczywistymi, zespolonymi bądź są elementami dowolnego ciała. Zakłada się, że , dzięki czemu równanie nie degeneruje się do równania liniowego. Współczynniki niekiedy nazywane są kolejno: kwadratowym, liniowym i stałym (bądź wyrazem wolnym).

Inną nazwą równania kwadratowego jest równanie drugiego stopnia.

Spis treści

Rozwiązania

Rozwiązaniem równania kwadratowego

nazywa się każdą liczbę, która podstawiona w miejsce daje po wykonaniu wszystkich działań równość. Jeżeli przedstawić powyższe równanie w postaci iloczynowej, tzn.

dla pewnych liczb to jego rozwiązaniem jest dowolna z liczb gdyż podstawiona zamiast sprawia, że lewa strona równości jest równa zeru.

W szczególności może być wówczas postacią iloczynową równania wyjściowego jest

Wyróżnik

Ponieważ

(piąta równość zachodzi na podstawie wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów), to pierwiastkami tego wielomianu są wielkości

oraz

Wyrażenie

nazywa się wyróżnikiem równania kwadratowego. W szczególności jeżeli to

Powyższe równości są prawdziwe w dziedzinie zespolonej – w szczególności, gdy to

gdzie jest jednostką urojoną, a wyrażenie pod pierwiastkiem po prawej stronie jest dodatnią wielkością rzeczywistą. Wtedy też równanie ma dwa sprzężone ze sobą rozwiązania zespolone, których część rzeczywista wynosi Jeżeli to rozwiązaniami są liczby rzeczywiste symetryczne względem Przypadki dla można podsumować zdaniem: średnia arytmetyczna pierwiastków wynosi (por. wzory Viète'a).

Równanie kwadratowe ma rozwiązanie w dziedzinie rzeczywistej, o ile Dokładniej, jeśli:

  • to równanie ma dwa rozwiązania rzeczywiste (dwa pierwiastki rzeczywiste);
  • to równanie ma jedno rozwiązanie rzeczywiste (podwójny pierwiastek rzeczywisty);
  • to równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Rozwiązania korzystające z wyróżnika są poprawne także nad skończonymi ciałami gdzie jest pewną liczbą pierwszą większą od 2.

Przykłady
  • Równanie
ma dwa rozwiązania, gdyż jego wyróżnik jest równy
Są nimi oraz
  • Równanie
po uporządkowaniu ma postać
Nie ma rozwiązań rzeczywistych, gdyż
jednak ma rozwiązania zespolone: ponieważ to rozwiązania mają postać
  • Równanie
ma jedno rozwiązanie gdyż wyróżnik

Wzory skróconego mnożenia

Równania kwadratowe można niekiedy przedstawić w postaci iloczynowej wprost ze wzorów skróconego mnożenia.

Przykłady
  • Równanie
można zapisać korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy jako
wtedy jest jedynym rozwiązaniem spełniającym powyższą równość.
  • Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów równanie
jest tożsame równaniu
skąd musi być
lub
tzn. rozwiązaniami jest każda z liczb
oraz

Wzory Viète'a

Znając jedno rozwiązanie można wskazać drugie korzystając z tzw. wzorów Viète'a, które dla wielomianu mają postać

Przykładem ich zastosowania może być następujący przypadek szczególny: jeżeli współczynniki wielomianu

spełniają równości i to można go zapisać jako

Oznacza to, że rozwiązaniami równania

którego współczynniki spełniają powyższe tożsamości są liczby

oraz
Przykłady
  • Równanie
daje się przedstawić w postaci
skąd otrzymuje się rozwiązania
oraz
  • Równanie
można zapisać jako
co oznacza, że rozwiązaniami są liczby
oraz

Dopełnianie do kwadratu

Zwykle wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia nie jest możliwe, jednak czasami drobne przekształcenia równania pozwalają uprościć proces wyznaczania rozwiązania; szczególnie, jeśli wyłącznie wyraz wolny stanowi przeszkodę. Niech

będzie równaniem, którego rozwiązania są poszukiwane. Jeżeli

to wyjściowe równanie można przekształcić następująco:

skąd

a skorzystawszy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów otrzymuje się

co daje rozwiązania

oraz

Podobnie jak objaśniono to wyżej, rozwiązanie rzeczywiste istnieje wyłącznie, gdy

Przykłady
  • Równanie
jest tożsame następującemu
kontynuując uzyskuje się
co jest równoważne
oraz
a więc rozwiązaniami są
oraz

Współczynniki całkowite

Istnieje prosta metoda wyznaczania pierwiastków wymiernych równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych, czyli postaci

,

gdzie są liczbami całkowitymi (jeżeli są liczbami wymiernymi, spośród których choć jedna nie jest całkowita, to równanie można pomnożyć stronami przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych współczynników uzyskując równanie równoważne, tj. o jednakowym zbiorze rozwiązań). Dokładniej:

Jeżeli liczba wymierna p/q, gdzie i są względnie pierwszymi liczbami całkowitymi (tzn. ich największy wspólny dzielnik jest równy 1) jest pierwiastkiem powyższego,to jest dzielnikiem , a jest dzielnikiem .

Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla wielomianów wyższych stopni.

Przykłady
  • Rozwiązaniami wymiernymi równania
mogą być tylko liczby należące do zbioru \{-5, -1, 1, 5, 5/2, -5/2\}. Podstawiając otrzymuje się wyraźnie dużą liczbę dodatnią po lewej stronie; podstawienie daje ; liczba podstawiona do równania daje po lewej stronie wartość ; liczba jest rozwiązaniem powyższego równania (drugim jest 5/2).

Inne

Jeżeli suma współczynników równania

jest równa zeru, tzn. to wśród jego rozwiązań znajduje się liczba (por. przykład z powyższej sekcji). Jeżeli to liczba jest pierwiastkiem tego równania.

Przykład
Równanie
na mocy powyższego faktu ma pierwiastek równy

Pokaż ten artykuł na Wikipedia.pl

Tekst udostępniany na licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o warunkach korzystania.
Zasady zachowania poufności. O Wikipedii. Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność. Materiał pochodzący z Wikipedii został zmodyfikowany poprzez ograniczenie liczby przypisów. Wikipedia® is a registered tradmark of the Wikimedia Foundation.

Kategorie dla tego artykułu