Metoda elementów skończonych [historia i autorzy]

Metoda Elementów Skończonych albo Metoda Elementu Skończonego (MES, ang. FEM, finite-element method) – zaawansowana metoda rozwiązywania układów równań różniczkowych, opierająca się na podziale dziedziny (tzw. dyskretyzacja) na skończone elementy, dla których rozwiązanie jest przybliżane przez konkretne funkcje, i przeprowadzaniu faktycznych obliczeń tylko dla węzłów tego podziału.

Metodą pokrewną jest metoda elementów brzegowych.

Jeśli obliczany model posiada symetrię kształtu i wymuszenia, wówczas można obliczyć tylko część obiektu celem szybszego uzyskania wyników, tak jak to przedstawiono na rysunku po prawej stronie.

Spis treści

Zastosowanie

Za pomocą metody bada się w mechanice komputerowej (CAE) wytrzymałość konstrukcji, symuluje odkształcenia, naprężenia, przemieszczenia, przepływ ciepła, przepływ cieczy.

Bada się również dynamikę, kinematykę i statykę maszyn, jak również odziaływania elektrostatyczne, magnetostatyczne i elektromagnetyczne.

Obliczenia MES mogą być przeprowadzane w przestrzeni dwuwymiarowej (2D), gdzie dyskretyzacja sprowadza się najczęściej do podziału obszaru na trójkąty. Rozwiązanie takie pozwala na obliczenie wartości pojawiających się w przekroju danego układu. Związane są z tym jednak pewne ograniczenia wynikające ze specyfiki rozwiązywanego problemu (np. kierunek przepływu tylko przenikający modelowaną powierzchnię, itp.)

Z uwagi na postęp techniki komputerowej w ostatnich latach większość pakietów symulacyjnych wyposażona jest w możliwość rozwiązywania zagadnień w przestrzeni trójwymiarowej (3D). Dyskretyzacja zazwyczaj polega na podziale obszaru na czworościany. Modelowanie takie pozbawione jest fundamentalnych ograniczeń technologii 2D, ale jest znacznie bardziej wymagające pod względem pamięci i mocy obliczeniowej komputera.

Wiarygodność MES

Jak każda metoda numerycznej aproksymacji, metoda elementów skończonych wprowadza szereg możliwych błędów rozwiązania http://www.pk.edu.pl/~kbanas/wprowadzenie_do_MES.pdf. Kilka najważniejszych to:

  • błąd modelowania (zastosowany model matematyczny nie odzwierciedla dokładnie rzeczywistości)
  • błąd wartości współczynników (przyjęte wartości współczynników równań różniczkowych cząstkowych i warunków brzegowych, czyli np. dane materiałowe, dane o interakcji obiektu ze światem zewnętrznym obarczone są błędem)
  • błąd odwzorowania obszaru (obszar obliczeniowy nie odpowiada dokładnie rzeczywistemu obszarowi zajmowanemu przez analizowany obiekt)
  • błąd numeryczny (błąd dyskretyzacji, zastosowana metoda aproksymacji wprowadza błąd w stosunku do rozwiązania dokładnego problemu wyjściowego)
  • błąd zaokrągleń (ze względu na zastosowanie ograniczonej dokładności reprezentacji liczb w komputerze, rozwiązanie uzyskane programem komputerowym nie odpowiada rozwiązaniu przybliżonemu, które zostałoby otrzymane przy dokładnej reprezentacji liczb)

Po uzyskaniu rozwiązania wyniki należy poddać weryfikacji. W przypadku błędu modelowania mówimy o walidacji modelu. Model matematyczny jest opracowywany przez inżynierów, fizyków, matematyków - przeciętny użytkownik programów MES powinien sprawdzić jak dobrze zastosowany przez niego model matematyczny odwzorowuje rzeczywistość, np. jak wiele osób dotychczas stosowało ten model, jakie uzyskały wyniki itp.

Z kolei błędy wartości współczynników i błąd odwzorowania obszaru należą do fazy przygotowania danych do rozwiązywanego problemu. Matematyczna analiza sformułowania problemu może przynieść odpowiedź na pytanie jak wrażliwy jest model na zmiany powyższych parametrów, w jaki sposób zmiany parametrów wpływają na zmianę rozwiązania, czy wiedząc, że informacje o danych i obszarze obarczone są pewnym błędem nadal możemy zakładać że rozwiązanie MES wystarczająco dokładnie opisuje badane zjawisko.

Błąd odwzorowania obszaru może wynikać nie tylko z błędu danych wejściowych przy definicji problemu, może zostać wprowadzony w fazie dyskretyzacji obszaru, czyli generowania siatki MES. Tutaj także analiza matematyczna zagadnienia może prowadzić do prób oszacowania jak duży jest błąd i w jaki sposób można go zmniejszyć.

Kolejnym typem błędu jest błąd numeryczny. MES jako metoda aproksymacji, w zdecydowanej większości zastosowań (poza niezwykle prostymi zadaniami) prowadzi do błędu dyskretyzacji. Błąd dyskretyzacji możemy określić jako różnicę rozwiązania dokładnego równania różniczkowego cząstkowego (lub mówiąc dokładniej zagadnienia brzegowego lub początkowo-brzegowego) i przybliżonego rozwiązania MES. W teorii MES bada się jaka jest zależność błędu numerycznego od sformułowania MES i parametrów rozwiązania, takich jak np. maksymalna wielkość elementów w siatce MES lub stopień wielomianów przyjętych jako funkcje kształtu.

Teoria dostarcza także informacji jak dla konkretnego zadania poprawić rozwiązanie. Mówimy wtedy o adaptacji zadania, polegającej najczęściej na modyfikacji siatki lub doboru funkcji kształtu. Zdecydowana większość współczesnych programów MES zawiera mechanizmy adaptacji. Ich zastosowanie polega najczęściej na wstępnym rozwiązaniu zadania, oszacowaniu popełnionego błędu numerycznego, a następnie modyfikacji zadania i ponownym rozwiązaniu. Informacje o procedurach szacowania błędu oraz procedurach modyfikacji zadania (siatki i aproksymacji) powinny znajdować się w dokumentacji programu MES. Ich znajomość jest często warunkiem koniecznym uzyskiwania wiarygodnych i dokładnych wyników za pomocą MES.

Ostatni typ błędu, błąd zaokrągleń jest specyficzny dla komputerowej realizacji algorytmów MES. Użytkownik powinien mieć świadomość, w których momentach obliczeń mogą pojawić się błędy zaokrągleń, jak bardzo są one istotne dla dokładności wyników i czy istnieją alternatywne algorytmy unikające tych błędów. Informacje takie powinny także znaleźć się w podręczniku użytkownika programu komputerowego MES.

MES w mechanice

Zastosowanie MES w mechanice oparte jest na poniższym równaniu macierzowym:

[M][u"]+[C][u']+[K][u]=[F]

gdzie:

[M] = suma([m]) - macierz bezwładności układu elementów skończonych równa sumie macierzy bezwładności poszczególnych elementów
[C] = suma([c]) - macierz tłumienia układu elementów skończonych równa sumie macierzy tłumienia poszczególnych elementów
[K] = suma([k]) - macierz sztywności układu elementów skończonych równa sumie macierzy sztywności poszczególnych elementów
[u"] - macierz kolumna przyspieszeń poszczególnych węzłów układu
[u'] - macierz kolumna prędkości poszczególnych węzłów układu
[u] - macierz kolumna przemieszczeń poszczególnych węzłów układu
[F] - macierz kolumna sił przyłożonych do ciała w węzłach układu elementów skończonych

Każdy element sąsiaduje tylko z kilkoma innymi elementami, dlatego też macierz wynikowa (a więc i układ równań do rozwiązania) jest bardzo rzadka. Z jednej strony powoduje to ułatwienie w postaci szybszego rozwiązania problemu (z uwagi na mniejszą ilość przetwarzanych danych), ale z drugiej wymaga specjalnych procedur zapewniających zbieżność rozwiązania.

Wady i zalety

Podstawową zaletą MES jest możliwość uzyskania wyników dla skomplikowanych kształtów, dla których niemożliwe jest przeprowadzenie obliczeń analitycznych. Oznacza to, że dane zagadnienie może być symulowane w pamięci komputera, bez konieczności budowania prototypu, co znacznie ułatwia proces projektowania.

Podział obszaru na coraz mniejsze elementy skutkuje zazwyczaj dokładniejszymi wynikami obliczeń, ale jest to okupione zwiększonym zapotrzebowaniem na moc obliczeniową komputera. Dodatkowo należy liczyć się z nakładającymi się błędami obliczeń wynikającymi z wielokrotnych przybliżeń (zaokrągleń) przetwarzanych wartości. Jeśli obszar składa się z kilkuset tysięcy elementów, które mają nieliniowe własności wówczas obliczenia muszą być odpowiednio modyfikowane w kolejnych iteracjach tak, aby końcowe rozwiązanie było poprawne. Dlatego też w wyjątkowych sytuacjach kumulujące się błędy obliczeniowe mogą okazać się niezaniedbywalne. Celem minimalizacji tych błędów pomiędzy różnymi wersjami tego samego problemu (np. zmiany parametrów materiałowych przy takich samych wymiarach) stosuje się identyczną dyskretyzację problemu tak, aby ewentualne błędy zaokrągleń były takie same, a ewentualne różnice w obliczeniach wynikały rzeczywiście ze zmian własności materiału.

Symulacje MES nie mogą być przeprowadzane w czasie rzeczywistym, ponieważ dla bardzo skomplikowanych układów rozwiązanie danego problemu może być bardzo długotrwałe (w zależności od stopnia skomplikowania i mocy obliczeniowej komputera czas ten może wynosić od kilku sekund do kilku dni, a nawet i dłużej). Dodatkowo, wartości obliczone metodą MES obarczone mogą być błędami, których wartość zależy od założeń przyjętych podczas formułowania problemu do rozwiązania, jak również i dokładności dostępnych danych materiałowych. Dlatego też, jeśli to tylko możliwe należy dane obliczone zweryfikować z danymi zmierzonymi na rzeczywistym urządzeniu lub układzie.

Pakiety obliczeniowe

Na rynku istnieje bardzo wiele komercyjnych pakietów oprogramowania, zazwyczaj wyspecjalizowanych w konkretnym zakresie obliczeń, np. naprężeń mechanicznych, przepływu ciepła lub oddziaływań elektromagnetycznych.

Następujące pakiety są dostępne jako Open Source: Z88, SLFFEA, YADE, FEniCS, deal.II, getFEM, libMesh, freeFEM, Elmer, Code-Aster i IMS.

Pokaż ten artykuł na Wikipedia.pl

Tekst udostępniany na licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o warunkach korzystania.
Zasady zachowania poufności. O Wikipedii. Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność. Materiał pochodzący z Wikipedii został zmodyfikowany poprzez ograniczenie liczby przypisów. Wikipedia® is a registered tradmark of the Wikimedia Foundation.

Kategorie dla tego artykułu