Baza (przestrzeń liniowa) [historia i autorzy]

Baza – pojęcie będące przeniesieniem oraz rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich w przestrzeniach euklidesowych na abstrakcyjne przestrzenie liniowe.

Uwaga: Bazy w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach nazywane są czasami bazami Hamela (jest to częsty zwyczaj w analizie funkcjonalnej). Z drugiej strony, niektórzy matematycy rezerwują nazwę baza Hamela dla dowolnej bazy przestrzeni liczb rzeczywistych jako przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych.

Spis treści

Definicja

Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F. Zbiór BV nazywany jest bazą przestrzeni V, gdy jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, tj. gdy C jest takim zbiorem liniowo niezależnym, że CB, to C = B.

Zbiór BV jest bazą wtedy i tylko wtedy, gdy dowolny niezerowy wektor vV może być zapisany jednoznacznie w postaci kombinacji liniowej elementów zbioru B, tj. gdy istnieją (wyznaczone jednoznacznie): liczba naturalna n, skalary c1, ..., cnF oraz takie elementy x1, ..., xn, że v = c1x1 + ... + cnxn.

Innymi słowy, baza to minimalny zbiór liniowo niezależny B, który generuje całą przestrzeń, tj. V = lin B.

Przykłady

  • Zbiór pusty jest bazą jednoelementowej przestrzeni {0}.
  • Dany jest zbiór A = {(0, 1), (1, 1), (1, 0)} wektorów w przestrzeni euklidesowej R2. Wektor (1, 1) można przedstawić jako:
(1, 1) = 1·(1, 0) + 1·(0, 1) .
Wynika stąd, że A nie jest bazą przestrzeni R2.
Z drugiej strony, niech B = {(1, 1), (1, 0)} i niech (x, y) będzie dowolnym wektorem R2. Szukając przedstawienia wektora (x, y) jako kombinacji liniowej wektorów zbioru B mamy:
(x, y) = α·(1, 1) + β·(1, 0) = (α + β, α) skąd α = y i β = xy.
Zatem przedstawienie wektora (x, y) jako kombinacji liniowej elementów zbioru B jest jednoznaczne, co oznacza, że zbiór B jest bazą przestrzeni R2.
  • Niech c00 oznacza przestrzeń liniową złożoną ze wszystkich ciągów o wyrazach rzeczywistych, których co najwyżej skończenie wiele wyrazów jest niezerowych. Wówczas zbiór B = {e1, e2, e3, ... } jest bazą przestrzeni c00, przy czym en jest wektorem, który na n-tej współrzędnej przyjmuje wartość 1 oraz 0 na pozostałych.

Współrzędne wektora w bazie. Funkcjonały stowarzyszone z bazą

Niech B będzie bazą przestrzeni liniowej V. Ponieważ każdy element vV może być przedstawiony jednoznacznie w postaci kombinacji liniowej elementów bazy B,

v = f1(x1) x1 + ... + fn(xn) xn,

gdzie f1(x1), ..., fn(xn) ∈ F oraz x1, ..., xnB, więc dla każdego xB odwzorowanie fx: VF

fx(v) = współczynnik stojący przy x w zapisie v jako kombinacji liniowej elementów z B

jest liniowe (formalnie, fx(v) = 0, gdy x nie pojawia się w zapisie). W szczególności, odwozorwania fx (xB) są elementami przestrzeni sprzężonej V* i nazywane są funkcjonałami stowarzyszonymi z bazą B. Funkcjonały te tworzą bazą przestrzeni V* wtedy i tylko wtedy, gdy V jest skończeniewymiarowa, tj. wtedy i tylko wtedy, gdy B jest zbiorem skończonym.

Przykład

Współrzędnymi wektora v = (-3, 4) w bazie B = {(1, 1), (1, 0)} przestrzeni V = R2 są liczby f(1, 1)(v) = 4 oraz f(1, 0)(v) = -7.

Ciągłość funkcjonałów stowarzyszonych z bazą w przestrzeniach Banacha

Niech V będzie przestrzenią Banacha oraz niech B będzie jej bazą (Hamela). W przypadku, gdy V jest skończeniewymiarowa, to funkcjonały stowarzyszone z bazą B są ciągłe i tworzą bazę przestrzeni V*. Gdy V jest nieskończeniewymiarowa, to sytuacja zmienia się diametralnie i zachodzi następujące twierdzenie: co najwyżej skończenie wiele spośród funkcjonałów stowarzyszonych z B jest ciągłych.

Dowód. Niech B będzie bazą nieskończeniewymiarowej przestrzeni Banacha V. Wówczas zbiór B0 = {x · ||x||-1: xB} też jest bazą oraz funkcjonały stowarzyszone z bazami B0 i B różnią się odpowiednio między sobą tylko o stałą - bez straty ogólności można więc założyć, że każdy wektor z B ma normę równą 1. Załóżmy nie wprost, że funkcjonały fxn są ciągłe dla pewnego różnowartościowego ciągu (xn) z B. Z zupełności przestrzeni V wynika, że suma szeregu
należy do V. Niech (yn) będzie ciągiem sum częściowych szergu v, tj.
Z ciągłości fxn wynika, że
co prowadzi do sprzeczności bo v ma tylko skończenie wiele niezerowych współczynników w bazie V, tj. zbiór {fx(v): xB} jest skończony. □

Istnienie bazy

Każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu przebiega różnie w zależności od tego, czy w danej przestrzeni istnieje skończony zbiór generujący tę przestrzeń, czy nie. W tym drugim przypadku należy odwołać się do lematu Kuratowskiego-Zorna. Dowód istnienia bazy nie jest konstruktywny, tzn. nie daje żadnego algorytmu na otrzymanie wektorów tworzących bazę.

Każdy zbiór liniowo niezależnych wektorów można uzupełnić tak, by otrzymać bazę przestrzeni (twierdzenie Steinitza). Na odwrót, z każdego zbioru wektorów generującego przestrzeń, można wybrać podzbiór, który jest jej bazą.

Andreas Blass udowodnił w 1984, że powyższe twierdzenie (każda przestrzeń liniowa ma bazę) jest równoważne z aksjomatem wyboru.

Wymiar przestrzeni liniowej

H. Löwig jako pierwszy udowodnił, że wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne (krótszy dowód został podany przez H.E. Lacey'a). Fakt ten pozwala określić wymiar przestrzeni liniowej jako moc jej dowolnej bazy. Tak określony wymiar przestrzeni liniowej nazywa się często wymiarem Hamela, w odróżnieniu od innych pojęć wymiaru stosowanych w matematyce.

Przestrzeń, która ma bazę skończoną nazywana jest przestrzenią skończeniewymiarową, w przeciwnym wypadku mówimy o przestrzeni nieskończenie wymiarowej. Nieskończenie wymiarowe przestrzenie Banacha mają wymiar Hamela co najmniej continuum

Przestrzenie euklidesowe

Dowolna przestrzeń kartezjańska jest z określenia skończenie wymiarowa. Jej baza złożona z wektorów (1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1) nazywana jest bazą kanoniczną lub standardową. Układ współrzędnych dowolnego wektora v = (v1, v2, ..., vn) w bazie kanonicznej pokrywa się z jego współrzędnymi w sensie przestrzeni euklidesowej.

Orientacja bazy

Dwie bazy uporządkowane w rzeczywistej przestrzeni liniowej są nazywane zgodnie zorientowanymi, jeśli macierz przejścia między od jednej bazy do drugiej ma dodatni wyznacznik. Bazy które nie są zgodnie zorientowane, nazywane są bazami o przeciwnej orientacji.

Pokaż ten artykuł na Wikipedia.pl

Tekst udostępniany na licencji Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Zobacz szczegółowe informacje o warunkach korzystania.
Zasady zachowania poufności. O Wikipedii. Korzystasz z Wikipedii tylko na własną odpowiedzialność. Materiał pochodzący z Wikipedii został zmodyfikowany poprzez ograniczenie liczby przypisów. Wikipedia® is a registered tradmark of the Wikimedia Foundation.

Kategorie dla tego artykułu